Convoluzione, Cross-Correlazione ed Auto-Correlazione Dei Segnali (Aleatori)

Nell'elaborazione di segnali quando si parla di correlazione, ci si riferisce alla misura di quanto due segnali hanno proprietà comuni, cioè di quanto si assomigliano, in funzione di un loro ritardo reciproco nel tempo. Essa ci dà un’indicazione diretta del tempo di ritardo tra i due segnali.
Si parla di cross-correlazione, ovvero a quella misura di similitudine tra due segnali (a seguito di una funzione spostamento o di una traslazione temporale applicata ad uno di essi).
Una funzione invece è detta d’autocorrelazione, quando fornisce la misura di quanto un segnale si correli con se stesso, ritardato ovviamente di un certo tempo tau (senza il ritardo il segnale rimarrebbe uguale a sè stesso). Va da sè che l'autocorrelazione non è nient'altro che una correlazione incrociata di un segnale con sè stesso.


SEGNALI DETERMINATI ED ALEATORI
Un segnale si dice determinato, quando si conosce perfettamente l’andamento nel tempo.
I segnali aleatori o casuali sono caratterizzati da proprietà statistiche, ad esempio la probabilità che in certo istante di tempo le ampiezze istantanee siano inferiori ad un certo valore.
I segnali facenti parte di un sistema di telecomunicazioni, non sono noti a priori e quindi sono da considerarsi sempre aleatori. In pratica sia i segnali che i disturbi ricevuti non sono mai prevedibili.
Tuttavia essi presentano delle proprietà statistiche regolari, quali ad esempio, la potenza media, la distribuzione delle potenze istantanee delle ampiezze e la distribuzione della potenza alle varie frequenze etc.

AUTOCORRELAZIONE E CONVOLUZIONE
Di solito, le correlazioni sono operazioni che si fanno su grandezze aleatorie dove assumono un significato statistico. Per segnali determinati il risultato dell’autocorrelazione fornisce solo il contenuto energetico del segnale. L’autocorrelazione per segnali determinati può essere definita come una convoluzione. Si tratta di un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore.
Ad esempio un'ombra (di una sedia, tavolo, etc) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso.
Una foto sfuocata è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma.
In acustica, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro. L''output (risposta) di un sistema dinamico lineare (stazionario) è la convoluzione di un input con la risposta impulsiva del sistema.

Tornando all’autocorrelazione è evidente che essa sui segnali periodici non ha molto senso, poiché un segnale sinusoidale è sempre identico alla sua replica ritardata di un multiplo intero di periodo T.
L’autocorrelazione invece per i segnali aleatori è molto importante, poiché ci fornisce una misura della regolarità del processo. Ritardando un segnale, che contiene numerose componenti di disturbo, possiamo verificare se esistono delle periodicità nell'andamento. L’autocorrelazione fornisce l’informazione relativa alle variazioni sull’asse dei tempi. La funzione d’autocorrelazione ci fornisce il segnale voluto pulito dal rumore. Nel caso di caratteristiche di rumore a larga banda, la funzione d’autocorrelazione può dare un’informazione sulla larghezza di banda del segnale.

Sia per i segnali determinati che casuali va considerato che la densità spettrale di un segnale è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione. Tramite l' FFT ("Trasformata di Fourier Veloce"), la funzione di autocorrelazione può essere ottenuta facilmente dalla trasformazione inversa dello spettro di potenza (si tratta di un algoritmo che permette di ridurre di migliaia di volte l'elaborazioni di una classica Trasformata di Fourier). La trasformata inversa di uno spettro di potenza rappresenta l’autocorrelazione del segnale.